◎
Tiger's Eye
Focus • Practicality • Confidence
A stone of ambition and practicality. It sharpens focus on goals, enhances decision-making, and boosts confidence—ideal for business is a vector space. (a) Show that the set VV is a vector subspace of WW. (b) Find a basis for VV. (c) What is the dimension of WW?WW
See Answers
Get Answer
### Let’s see the calculation in detail
### Part (a): Show that
### Part (a): Show that
is a vector subspace of WWV=ℝ3V = \mathbb{R}^3
We need to check the three subspace conditions:
- The zero vector is in.WW
- is closed under vector addition.WW
- is closed under scalar multiplication.WW
Given.W={(x,y,z)∈ℝ3:x+y+z=0}W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}
1. Zero vector: The zero vector is. Check (0,0,0)(0,0,0), so 0+0+0=00+0+0=0.(0,0,0)∈W(0,0,0) \in W
2. Closed under addition: Let and u=(x1,y1,z1)∈Wu = (x_1, y_1, z_1) \in W. Then v=(x2,y2,z2)∈Wv = (x_2, y_2, z_2) \in W and x1+y1+z1=0x_1 + y_1 + z_1 = 0.x2+y2+z2=0x_2 + y_2 + z_2 = 0
Consider. We need to check if u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2).(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0(x_1+x_2) + (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = 0
Compute:. Since each sum is 0, the total is 0. So (x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0(x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2) = 0+0=0.u+v∈Wu+v \in W
3. Closed under scalar multiplication: Let and let u=(x,y,z)∈Wu = (x, y, z) \in W. Then α∈ℝ\alpha \in \mathbb{R}.αu=(αx,αy,αz)\alpha u = (\alpha x, \alpha y, \alpha z)
Check:. Since αx+αy+αz=α(x+y+z)=α⋅0=0\alpha x + \alpha y + \alpha z = \alpha (x + y + z) = \alpha \cdot 0 = 0, the result is 0. So x+y+z=0x+y+z=0.αu∈W\alpha u \in W
All three conditions satisfied, so is a subspace of WW.VV
### Part (b): Find a basis for
### Part (b): Find a basis for
WW
We need to find a set of linearly independent vectors that span.WW
Condition: implies x+y+z=0x+y+z=0.z=−x−yz = -x - y
So any vector in can be written as WW.(x,y,−x−y)(x, y, -x-y)
Write as:
(x,y,−x−y)=x(1,0,−1)+y(0,1,−1)(x, y, -x-y) = x(1,0,-1) + y(0,1,-1)
Thus, every vector in is a linear combination of WW and v1=(1,0,−1)v_1 = (1,0,-1).v2=(0,1,−1)v_2 = (0,1,-1)
Check if and v1v_1 are linearly independent: Suppose v2v_2. Then α(1,0,−1)+β(0,1,−1)=(0,0,0)\alpha(1,0,-1) + \beta(0,1,-1) = (0,0,0).(α,β,−α−β)=(0,0,0)(\alpha, \beta, -\alpha-\beta) = (0,0,0)
From first component,. From second, α=0\alpha=0. Then third component β=0\beta=0, consistent. So linearly independent.−0−0=0-0-0=0
Thus, is a basis for {v1,v2}\{v_1, v_2\}.WW
### Part (c): Dimension of
### Part (c): Dimension of
WW
The basis has 2 vectors, so.dim(W)=2\dim(W) = 2
### Answer
(a) is a subspace of WW.VV
(b) A basis for is WW.{(1,0,−1),(0,1,−1)}\{(1,0,-1), (0,1,-1)\}
(c) The dimension of is 2.WW
### 2. Let
### 2. Let
be a vector space over VV with basis R\mathbb{R}. Let {v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\} be a linear transformation such thatT:V→VT: V \to V
T(v1)=v1−v2,T(v2)=v2−v3,T(v3)=v3−v1.T(v_1) = v_1 - v_2, \quad T(v_2) = v_2 - v_3, \quad T(v_3) = v_3 - v_1.
(a) Find the matrix of with respect to the basis TT. (b) Find the rank and nullity of {v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\}.TT
See Answers
Get Answer
### Let’s see the calculation in detail
### Part (a): Matrix of
### Part (a): Matrix of
with respect to TT{v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\}
We write the images of the basis vectors as linear combinations of:v1,v2,v3v_1, v_2, v_3
T(v1)=v1−v2=1⋅v1+(−1)⋅v2+0⋅v3T(v_1) = v_1 - v_2 = 1\cdot v_1 + (-1)\cdot v_2 + 0\cdot v_3
So the coordinate vector is.(1,−1,0)T(1, -1, 0)^T
T(v2)=v2−v3=0⋅v1+1⋅v2+(−1)⋅v3T(v_2) = v_2 - v_3 = 0\cdot v_1 + 1\cdot v_2 + (-1)\cdot v_3
Coordinate vector:.(0,1,−1)T(0, 1, -1)^T
T(v3)=v3−v1=−1⋅v1+0⋅v2+1⋅v3T(v_3) = v_3 - v_1 = -1\cdot v_1 + 0\cdot v_2 + 1\cdot v_3
Coordinate vector:.(−1,0,1)T(-1, 0, 1)^T
The matrix of AA with respect to this basis has columns equal to these coordinate vectors:TT
A=[10−1−1100−11]A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \
-1 & 1 & 0 \
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
### Part (b): Rank and nullity of
### Part (b): Rank and nullity of
TT
Rank of = rank of matrix TT. Nullity of AA = dimension of kernel of TT = TT.3−rank(T)3 - \text{rank}(T)
Compute rank of. Row reduce AA:AA
A=[10−1−1100−11]A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \
-1 & 1 & 0 \
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
Perform row operations:
- R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1
[10−101−10−11]\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \
0 & 1 & -1 \
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
- R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2
[10−101−1000]\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \
0 & 1 & -1 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
Row echelon form has 2 pivots, so rank = 2.
Thus, nullity =.3−2=13 - 2 = 1
### Answer
(a) The matrix is.[10−1−1100−11]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \ -1 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}
(b) Rank = 2, nullity = 1.
### 3. Let
### 3. Let
be the vector space of all polynomials of degree at most 3 with real coefficients. Define an inner product on P3\mathbb{P}_3 byP3\mathbb{P}_3
⟨p,q⟩=∫01p(x)q(x)dx.\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(x) q(x) \, dx.
Consider the subspace. Find an orthogonal basis for W=span{1,x}W = \text{span} \{1, x\} with respect to this inner product.WW
See Answers
Get Answer
### Let’s see the calculation in detail
We apply the Gram-Schmidt process to the basis of {1,x}\{1, x\}.WW
Let, u1=1u_1 = 1.u2=xu_2 = x
Define.v1=u1=1v_1 = u_1 = 1
Compute:⟨v1,v1⟩\langle v_1, v_1 \rangle
⟨v1,v1⟩=∫011⋅1dx=∫01dx=1.\langle v_1, v_1 \rangle = \int_0^1 1 \cdot 1 \, dx = \int_0^1 dx = 1.
Now compute:⟨u2,v1⟩\langle u_2, v_1 \rangle
⟨u2,v1⟩=∫01x⋅1dx=∫01xdx=12.\langle u_2, v_1 \rangle = \int_0^1 x \cdot 1 \, dx = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}.
Then,
v2=u2−⟨u2,v1⟩⟨v1,v1⟩v1=x−12⋅1=x−12.v_2 = u_2 - \frac{\langle u_2, v_1 \rangle}{\langle v_1, v_1 \rangle} v_1 = x - \frac{1}{2} \cdot 1 = x - \frac{1}{2}.
Thus, an orthogonal basis for is WW.{1,x−12}\left\{ 1, x - \frac{1}{2} \right\}
We can optionally normalize them to get an orthonormal basis, but the problem only asks for an orthogonal basis.
### Answer
An orthogonal basis for is WW.{1,x−12}\left\{1, x - \frac{1}{2}\right\}
### 4. Let
### 4. Let
be a linear transformation defined byT:R3→R2T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
T(x,y,z)=(x+y,y+z).T(x, y, z) = (x + y, y + z).
(a) Find the standard matrix representation of. (b) Find a basis for the kernel of TT and the image of TT. (c) Verify the Rank-Nullity Theorem for TT.TT
See Answers
Get Answer
### Let’s see the calculation in detail
### Part (a): Standard matrix of
### Part (a): Standard matrix of
TT
acts on the standard basis of TT:R3\mathbb{R}^3T(e1)=T(1,0,0)=(1+0,0+0)=(1,0)T(e_1) = T(1,0,0) = (1+0, 0+0) = (1,0)T(e2)=T(0,1,0)=(0+1,1+0)=(1,1)T(e_2) = T(0,1,0) = (0+1, 1ưng của việc làm chính thức hoặc hợp pháp hoặc hợp đồng cho người lao động. Là một hình thức đưng của việc làm chính thức hoặc hợp pháp hoặc hợp đồng cho người lao động. Là một hình thức đại diện cho người lao động, thay mặt người lao động để bảo vệ quyền và lợi ích hợp pháp của người lao động, đại diện cho người lao động trong quan hệ lao động. Tổ chức công đoàn các cấp trong Công đoàn Việt Nam có tư cách pháp nhân, có con dấu và tài khoản riêng. Tổ chức công đoàn các cấp có quyền và nghĩa vụ dân sự theo quy định của Bộ luật Dân sự.
### 2. Quyền và trách nhiệm của tổ chức công đoàn các cấp
Theo quy định của pháp luật lao động, tổ chức công đoàn có những quyền và trách nhiệm sau:
- Đại diện, bảo vệ quyền và lợi ích hợp pháp, chính đáng của người lao động; tham gia với cơ quan nhà nước, tổ chức, đơn vị xây dựng quan hệ lao động hài hòa, ổn định, tiến bộ; tuyên truyền, vận động người lao động học tập, nâng cao trình độ, kỹ năng nghề nghiệp, chấp hành pháp luật, nội quy lao động, xây dựng và bảo vệ tổ quốc.
- Đại diện người lao động để thương lượng, ký kết và giám sát việc thực hiện thoả ước lao động tập thể; tham gia xây dựng tiêu chuẩn kỹ năng nghề nghiệp, xây dựng giá thời gian lao động, giá đơn giá tiền lương, đơn giá tiền công; tham gia với cơ quan nhà nước xây dựng chính sách, pháp luật về lao động.
- Tham gia với cơ quan nhà nước thanh tra, kiểm tra việc thi hành pháp luật về lao động; tham gia điều tra tai nạn lao động, bệnh nghề nghiệp theo quy định của pháp luật về lao động.
- Tổ chức và lãnh đạo đình công theo quy định của pháp luật.
## III. Thỏa ước lao động tập thể
Theo quy định của Bộ luật Lao động 2019, thoả ước lao động tập thể là văn bản thoả thuận giữa tập thể lao động và người sử dụng lao động về điều kiện lao động và sử dụng lao động, quyền lợi và nghĩa vụ của hai bên trong quan hệ lao động. Thỏa ước lao động tập thể được chia thành 2 loại: thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp và thỏa ước lao động tập thể ngành.
### 1. Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp
Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp là thỏa ước được ký kết giữa tập thể lao động với người sử dụng lao động tại doanh nghiệp.
Nguyên tắc ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp:
- Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp được ký kết giữa đại diện tập thể lao động với người sử dụng lao động theo nguyên tắc tự nguyện, bình đẳng, công khai và minh bạch.
- Đại diện tập thể lao động là tổ chức công đoàn tại doanh nghiệp.
- Nội dung thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp không được trái với quy định của pháp luật và phải thuận lợi hơn cho người lao động so với quy định của pháp luật.
Thẩm quyền ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp:
- Đối với doanh nghiệp có tổ chức công đoàn cơ sở thì Ban chấp hành công đoàn cơ sở đại diện cho tập thể lao động ký kết.
- Đối với doanh nghiệp chưa có tổ chức công đoàn cơ sở thì đại diện tập thể lao động do tập thể lao động cử tham gia ký kết.
Trình tự ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp:
- Bước 1: Đơn phương yêu cầu ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp.
Bên yêu cầu ký kết phải đưa ra dự thảo thỏa ước và gửi cho bên kia.
- Bước 2: Thương lượng tập thể.
Hai bên tiến hành thương lượng tập thể. Trong thời hạn 90 ngày kể từ ngày nhận được yêu cầu, các bên phải bắt đầu thương lượng.
- Bước 3: Ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp.
Sau khi đạt được thỏa thuận, hai bên tiến hành ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp. Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp có hiệu lực từ ngày hai bên thỏa thuận ghi trong thỏa ước. Trường hợp hai bên không thỏa thuận thì thỏa ước có hiệu lực từ ngày ký kết.
- Bước 4: Đăng ký thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp.
Trong thời hạn 10 ngày kể từ ngày ký kết, người sử dụng lao động phải gửi thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp đến cơ quan quản lý nhà nước về lao động cấp tỉnh để đăng ký.
### 2. Thỏa ước lao động tập thể ngành
Thỏa ước lao động tập thể ngành là thỏa ước được ký kết giữa đại diện tập thể lao động với đại diện người sử dụng lao động của một hoặc một số ngành kinh tế ở cấp tỉnh hoặc liên tỉnh hoặc cả nước.
Nguyên tắc ký kết thỏa ước lao động tập thể ngành:
- Thỏa ước lao động tập thể ngành được ký kết giữa đại diện tập thể lao động với đại diện người sử dụng lao động theo nguyên tắc tự nguyện, bình đẳng, công khai và minh bạch.
- Đại diện tập thể lao động là công đoàn ngành.
- Nội dung thỏa ước lao động tập thể ngành không được trái với quy định của pháp luật và phải thuận lợi hơn cho người lao động so với quy định của pháp luật.
- Thỏa ước lao động tập thể ngành được ký kết ở cấp tỉnh hoặc liên tỉnh hoặc cả nước.
Trình tự ký kết thỏa ước lao động tập thể ngành:
- Bước 1: Đơn phương yêu cầu ký kết thỏa ước lao động tập thể ngành.
Bên yêu cầu ký kết phải đưa ra dự thảo thỏa ước và gửi cho bên kia.
- Bước 2: Thương lượng tập thể.
Hai bên tiến hành thương lượng tập thể. Trong thời hạn 90 ngày kể từ ngày nhận được yêu cầu, các bên phải bắt đầu thương lượng.
- Bước 3: Ký kết thỏa ước lao động tập thể ngành.
Sau khi đạt được thỏa thuận, hai bên tiến hành ký kết thỏa ước lao động tập thể ngành. Thỏa ước lao động tập thể ngành có hiệu lực từ ngày hai bên thỏa thuận ghi trong thỏa ước. Trường hợp hai bên không thỏa thuận thì thỏa ước có hiệu lực từ ngày ký kết.
- Bước 4: Đăng ký thỏa ước lao động tập thể ngành.
Trong thời hạn 10 ngày kể từ ngày ký kết, đại diện người sử dụng lao động phải gửi thỏa ước lao động tập thể ngành đến cơ quan quản lý nhà nước về lao động cấp tỉnh để đăng ký. Đối với thỏa ước lao động tập thể ngành liên tỉnh và cả nước thì gửi đến Bộ Lao động – Thương binh và Xã hội để đăng ký.
## IV. Nội dung của thỏa ước lao động tập thể
Thỏa ước lao động tập thể có thể có các nội dung sau đây:
- Việc làm và bảo đảm việc làm;
- Thời giờ làm việc, thời giờ nghỉ ngơi;
- Tiền lương, tiền thưởng, phụ cấp lương;
- Định mức lao động;
- An toàn lao động, vệ sinh lao động;
- Bảo hiểm xã hội đối với người lao động;
- Nội quy lao động;
- Các vấn đề khác mà hai bên quan tâm.
## V. Phạm vi áp dụng của thỏa ước lao động tập thể
### 1. Phạm vi áp dụng của thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp
Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp áp dụng cho người lao động và người sử dụng lao động của doanh nghiệp đó.
### 2. Phạm vi áp dụng của thỏa ước lao động tập thể ngành
Thỏa ước lao động tập thể ngành áp dụng cho người lao động và người sử dụng lao động trong phạm vi ngành đó.
## VI. Hiệu lực của thỏa ước lao động tập thể
Thỏa ước lao động tập thể có hiệu lực từ ngày hai bên thỏa thuận ghi trong thỏa ước. Trường hợp hai bên không thỏa thuận thì thỏa ướcưng của việc làm chính thức hoặc hợp pháp hoặc hợp đồng cho người lao động. Là một hình thức đại diện cho người lao động, thay mặt người lao động để bảo vệ quyền và lợi ích hợp pháp của người lao động, đại diện cho người lao động trong quan hệ lao động. Tổ chức công đoàn các cấp trong Công đoàn Việt Nam có tư cách pháp nhân, có con dấu và tài khoản riêng. Tổ chức công đoàn các cấp có quyền và nghĩa vụ dân sự theo quy định của Bộ luật Dân sự.
### 2. Quyền và trách nhiệm của tổ chức công đoàn các cấp
Theo quy định của pháp luật lao động, tổ chức công đoàn có những quyền và trách nhiệm sau:
- Đại diện, bảo vệ quyền và lợi ích hợp pháp, chính đáng của người lao động; tham gia với cơ quan nhà nước, tổ chức, đơn vị xây dựng quan hệ lao động hài hòa, ổn định, tiến bộ; tuyên truyền, vận động người lao động học tập, nâng cao trình độ, kỹ năng nghề nghiệp, chấp hành pháp luật, nội quy lao động, xây dựng và bảo vệ tổ quốc.
- Đại diện người lao động để thương lượng, ký kết và giám sát việc thực hiện thoả ước lao động tập thể; tham gia xây dựng tiêu chuẩn kỹ năng nghề nghiệp, xây dựng giá thời gian lao động, giá đơn giá tiền lương, đơn giá tiền công; tham gia với cơ quan nhà nước xây dựng chính sách, pháp luật về lao động.
- Tham gia với cơ quan nhà nước thanh tra, kiểm tra việc thi hành pháp luật về lao động; tham gia điều tra tai nạn lao động, bệnh nghề nghiệp theo quy định của pháp luật về lao động.
- Tổ chức và lãnh đạo đình công theo quy định của pháp luật.
## III. Thỏa ước lao động tập thể
Theo quy định của Bộ luật Lao động 2019, thoả ước lao động tập thể là văn bản thoả thuận giữa tập thể lao động và người sử dụng lao động về điều kiện lao động và sử dụng lao động, quyền lợi và nghĩa vụ của hai bên trong quan hệ lao động. Thỏa ước lao động tập thể được chia thành 2 loại: thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp và thỏa ước lao động tập thể ngành.
### 1. Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp
Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp là thỏa ước được ký kết giữa tập thể lao động với người sử dụng lao động tại doanh nghiệp.
Nguyên tắc ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp:
- Thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp được ký kết giữa đại diện tập thể lao động với người sử dụng lao động theo nguyên tắc tự nguyện, bình đẳng, công khai và minh bạch.
- Đại diện tập thể lao động là tổ chức công đoàn tại doanh nghiệp.
- Nội dung thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp không được trái với quy định của pháp luật và phải thuận lợi hơn cho người lao động so với quy định của pháp luật.
Thẩm quyền ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp:
- Đối với doanh nghiệp có tổ chức công đoàn cơ sở thì Ban chấp hành công đoàn cơ sở đại diện cho tập thể lao động ký kết.
- Đối với doanh nghiệp chưa có tổ chức công đoàn cơ sở thì đại diện tập thể lao động do tập thể lao động cử tham gia ký kết.
Trình tự ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp:
- Bước 1: Đơn phương yêu cầu ký kết thỏa ước lao động tập thể doanh nghiệp.
Bên yêu c